2.2.1. Integral Definida.

El área de una región limitada por un intervalo [a,b], se puede ver como una integral definida, donde si tenemos a y=f(x) como una función continua en el intervalo cerrado [a,b], se tiene que el área de la región limitada por la función y = f(x), el eje "x" y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por el numero real.

$$area=\int_{a}^{b}f(x)dx $$

Si tenemos una función "f(x)" continua en un intervalo [a,b] y F(x) y como la antiderivada de "f(x)" en [a,b], entonces:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) $$

Este resultado es la Regla de Barrow y nos relaciona la integral definida (y por lo tanto el cálculo de áreas) y la teoria de la integracion (como cálculo de primitivas o anti derivadas).

- Para calcular integrales definidas, se realiza lo siguiente:

1. Calculamos la primitiva de f.
2. Evaluamos la primitiva en los limites inferior "a" e inferior "b".
3. Realizamos la diferencia del valor obtenido en b menos el obtenido en a.

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Aqui un ejemplo de la integral definida.

TUTORIAL

2.2.2. Cálculo de áreas y de volúmenes.

Para determinar el área bajo la curva en un intervalo hay que tener en cuenta que la antiderivada de la funcion ya la obtuvieron con los diferentes métodos de integración en los temas anteriores que son las espresiones de los resultados de las integrales indefinidas.

Si f es continua en [a,b], y f es la antiderivada de f en el intervalo, donde F'(x) = f(x). Entonces:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) $$

Ejemplo:

Cálculo de volumenes:
Despues de calcular el area bajo la curva, esa area la vamos a girar sobre los ejes x para obtener el volumen del cuerpo geómetrico que se forma y ási determina dicho volúmen mediante la formula:

Si esta girado en el eje "x" la fórmula para calcular el volumen es:

$$V=\pi \int _{ a }^{ b }{ \left[ f(x) \right] { dx } } $$

EJEMPLO:
Calcula el volumen del solido de revolucion que se forma al girar al rededor de eje "x" la funcion f(x)=2 en el intervalo [-2,3]

$$v=\pi \int _{ -2 }^{ 3 } \left[ 2 \right] ^{ 2 }dx=\pi \int _{ -2 }^{ 3 }{ 4dx=4\pi \int _{ -2 }^{ 3 }{ dx }  } $$

$$v=4\pi \left[ x \right] \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix}=4\pi (3-(-2))$$ 

$$v=4\pi \left( 5 \right) =20\pi { u }^{ 3 }$$


Tutorial: